Non-parametric Tests
the Wilcoxon rank-sum test(Mann-Whitney test)
comparing two independent conditions
compares two conditions when different participants take part in each condition and the resulting data violate any assumption of the independent t-test
原理
将两组数据标上标签，然后放在一起排序。最小值为rank 1，第二小的为rank 2，然后以此类推……
注意，如果有多个值相同（tied scores），那他们的rank统一为potential rank的平均值。potential rank就是假设他们不同的话应该是什么rank。
然后再把相同组内的所有值的rank求和。
为了校正，各减去mean rank of the group，公式为N(N+1)/2。
（N为每个组的人数，其实这个就是等差数列1...N的和最后除以N）
以上的计算结果为test statistic，取较小的那个值（？存疑）
然后计算associated p-value，其实可以用monte carlo method，就是从整个样本里随机抽取出来一个组，然后再次计算，看看是否符合我们的结果（其实不应该，因为这种情况下null hypothesis is true）——不过这个要反反复复取样本计算，对大的数据来说很不友好。
另外一种方法是normal approximation。
该方法并不强求数据本身是成正态分布的，而是认为我们一次一次取样本计算的上述结果应该是成正态分布的。
我们可以算出标准差，然后算z，然后算p-value。
当然对R来说，如果你用这个方法算，它默认会加上一个continuity correction，因为正态分布本身是平滑曲线，但我们的数据分成了rank所以不是平滑的，因此校正之后会把你的p-value稍微拉高一点。
calculating effect size
r=z/sqrt(N)
在R中计算z-score的方法：qnorm(xxmodel$p.value/2)
if p-value<0.05, then the two groups are significantly different
the Wilcoxon signed-rank test
comparing two related conditions
two set of scores, from the same participants, and the resulting data violate an assumption of the dependent t-test
原理
对所有的数据：state 2 - state 1（如果差为0，那么直接筛掉该数据）
然后根据结果的绝对值的大小对数据进行rank分配，处理tied scores的方法相同
然后把数据分为差大于零和差小于零两种，求sum of positive ranks和sum of negative ranks
最终的test statistic为这两个结果里比较小的那个
然后计算significance of the test statistic（公式见课本p668下面），注意样本总数不算差为零的那几个
mean和standard error的计算方法见p670
计算effect size见p673
if p-value<0.05, then the two groups are significantly different
Kruskal-Wallis test
comparing several conditions when different participants take part in each condition and the resulting data violate an assumption of one-way independent ANOVA
和wilcoxon rank-sum类似，一开始先把各组数据放在一起排rank，然和把各组的rank求和。
各组的test statistic H有一个很复杂的公式，见p767最下面15.1
post hoc test
对于所有可能的两两比较，都进行一次wilcoxon rank-sum test，公式见p681的15.2
R中的方法见p683
if p-value<0.05, then the two groups are significantly different
the Jonckheere-Terpstra test
和Kruskal-Wallis test类似，只是包括了the order of the groups是否有意义的信息。
R中的方法见p685
Friedman's test
differences between conditions when there are more than two conditions and the same participants have been used in all conditions(each case contributes several scores to the data)+violated an assumption of one-way repeated-measures ANOVA
Friedman's ANOVA
首先把不同的情况下的数据放在不同的列中，然后对每一行（也就是说每一个participants）中的列排rank（比如condition 2最小，那么它的rank是1，第二小的是condition 1，那么它的rank就是2……以此类推）
最后，将不同condition（也就是说每一列）的rank相加。test statistics F_r 的公式还是很复杂，见p689最上方
post hoc test的方法见p691的15.7.6.
if p-value<0.05, then the two groups are significantly different